put his nose into things that don't concern him

put his nose into things that don’t concern him

自分に関係がないことに（いちいち）口出しする

put one’s nose into 鼻を突っ込む＝口出しする

that don’t concern him 彼に関係がない／彼にとって興味がない

concernを他動詞で使うと、「に興味がない」「に関係がない」です。 ここでは、自分にどうでもいいことに口出ししてきやがるうざいやつ、という意味でしょう。

類義語 a nosey person = to put your nose into someone else’s business